Перейти к основному содержимому

Производные структуры и гомологическая алгебра в Diakrisis

Статус​

[Т-набр] — формализация .

Постановка​

Derived categories (Verdier), homological algebra (Cartan-Eilenberg), stable ∞-categories (Люри HA) — центральные инструменты современной математики. Они:

  • Управляют когомологиями.
  • Объединяют различные вычислительные контексты.
  • Лежат в основе derived algebraic geometry, K-theory, motivic homotopy.

Вопрос: как они выражаются в Diakrisis?

Артикуляция α_derived​

Структурные инварианты​

α_derived кодирует:

  • D_1 (Абелева категория A): базовая (модули над кольцом, шефы).
  • D_2 (Цепные комплексы Ch(A)): ⋯ → X_{n+1} → X_n → X_{n-1} → ⋯ с d² = 0.
  • D_3 (Quasi-isomorphisms): морфизмы, индуцирующие изо на когомологиях.
  • D_4 (Derived category D(A)): Ch(A) / quasi-iso.
  • D_5 (Triangulated structure): distinguished triangles.
  • D_6 (t-structure): когомологическая иерархия.
  • D_7 (∞-категорное расширение): stable ∞-category для D(A).

Ординальная позиция​

Теорема 45.T1: ν_{α_derived} = ω · 2 + 1.

Обоснование:

  • Начинается с абелевой категории (ω для модулей/шефов).
  • Добавляет цепные комплексы (ω-длинные).
  • Quasi-quotient (+1).
  • Triangulated/∞-структура (+ω для высших когомологий).

Итого ω·2+1. ∎

Сравнение: α_derived более глубокая, чем α_NCG (ω·2), но менее, чем α_cohesion (ω·2+4).

Связь с 𝖬-итерацией​

Derived как категорификация​

По теореме 36.T1 (категорификация = 𝖬): derived category получается категорификацией абелевой категории.

Теорема 45.T2: α_derived ∈ Trace(𝖠) получается как 𝖬(α_abelian).

Обоснование: derived functors — n-functors, категорифицированные обычные. ∎

Triangulated structure​

Distinguished triangles​

Def 45.1: distinguished triangle в D(A):

X→Y→Z→X[1]X \to Y \to Z \to X[1]

с определёнными свойствами.

Аксиомы Verdier​

  • (TR1): X → X → 0 → X[1] distinguished.
  • (TR2): rotation.
  • (TR3): morphism lifting.
  • (TR4): octahedral axiom.

В Diakrisis​

Triangles — специфические диаграммы в Trace(𝖠). Они формализуют «short exact sequences» в категорной форме.

t-structure​

Определение​

Def 45.2: t-structure на triangulated category — пара (D^{≤0}, D^{≥0}) с условиями:

  • Hom(D^{≤0}, D^{≥1}) = 0.
  • Каждый X имеет triangle X^{≤0} → X → X^{≥1} → X^{≤0}[1].

В Diakrisis​

t-structure даёт когомологическую иерархию через ⊏-отношение:

  • X^{≤0} — «простые» компоненты.
  • X^{≥0} — «сложные».

Stable ∞-категории​

Люри HA​

Stable ∞-category: ∞-category с finite limits и colimits, где pushout squares = pullback squares.

Связь: D(A) как ∞-category — стабильна.

В Diakrisis​

Stable ∞-categories — специфический gauge-класс в 𝓜_Fnd.

Cohomology через derived​

Производные функторы​

Def 45.3: для функтора F: A → B между абелевыми, производные функторы:

  • L_i F: derived left.
  • R^i F: derived right.

Они вычисляют обструкции точности F.

В Diakrisis​

Производные функторы F — n-функторы в Trace(𝖠), коммутирующие с 𝖬 с коррекциями.

Теорема 45.T3: R^i F(α) = H^i(F-transform α) в Diakrisis.

Spectral sequences​

Гротендик spectral sequence​

E2p,q=RpFRqG⇒Rp+q(F∘G).E_2^{p,q} = R^p F R^q G \Rightarrow R^{p+q}(F \circ G).

В Diakrisis​

Spectral sequences — инструмент computation cohomology в Trace(𝖠). Они коммутируют с 𝖬 до sheaf condition.

K-theory​

Algebraic K-theory​

K_0(A) = Гротендик группа классов проективных модулей. K_1(A) = группа изоморфизмов. K_n(A) = high K-theory.

В Diakrisis​

K-theory — специфический инвариант в α_derived.

Следствие 45.C1: K-theory — часть derived structure Diakrisis.

Derived algebraic geometry (DAG)​

Schemes → Derived schemes​

Derived scheme: scheme + derived structure on rings.

В Diakrisis​

DAG — точка в 𝓜_Fnd, получаемая категорификацией обычной algebraic geometry.

Теорема 45.T4: α_DAG = 𝖬(α_scheme) (приблизительно, с корректировками).

Motivic homotopy​

Воеводский motives​

Motives — universal cohomology theory. Связь с derived structures фундаментальная.

В Diakrisis​

Motivic theory — ρ-проекция специфической α_motivic ∈ Trace(𝖠).

Гипотеза 45.H1: α_motivic ⊏_κ α_derived для некоторого κ.

Применения​

В алгебраической геометрии​

  • Derived schemes.
  • Motivic theory.
  • K-theory.

В топологии​

  • Spectra as stable ∞-category.
  • Cohomology theories.
  • Generalized (co)homology.

В Diakrisis​

  • α_derived: specific gauge-class.
  • Связь с УГМ: cohomological aspects of quantum systems.

Связь с другими разделами​

С cohesion​

Derived + cohesion: derived cohesive ∞-topos (Шрайбер).

С ∞-topos​

Stable ∞-categories — специфический случай ∞-topoi.

С NCG​

Derived NCG — расширение Конн theory через derived methods.

Признанные редукции​

  • Verdier (1967): derived categories.
  • Cartan-Eilenberg (1956): homological algebra.
  • Люри (2017): Higher Algebra.
  • Воеводский (2000+): motives.

Итог​

  • α_derived с ν = ω·2+1.
  • 45.T1: ординальная позиция.
  • 45.T2: derived как категорификация.
  • Triangulated + t-structure — формальная структура.
  • Stable ∞-categories: Люри formalism.
  • K-theory: инвариант в α_derived.
  • DAG, motivic: расширения.

Следующий документ​

/02-canonical-primitive/09-conservation.