Перейти к основному содержимому

Вероятностно-мерная структура Diakrisis

Статус​

[Т-набр] — формализация .

Постановка​

Современная мат-физика требует вероятностно-мерной структуры: классические вероятности (Колмогоров), квантовые (density operators), функциональные (Feynman path integrals), статистические (Markov, Bayes).

Вопрос: встраивается ли это в Diakrisis естественно?

Ответ: встраивается через специфический выбор α_math и ρ-проекцию. Это — очередной gauge-класс.

Вероятностная артикуляция​

Определение​

Def 33.1: α ∈ ⟪⟫ вероятностна, если ρ(α) имеет структуру вероятностного пространства:

  • σ-алгебра: подартикуляции {γ ⊏_0 α} образуют σ-алгебру подмножеств.
  • Мера: существует функция μ_α: {γ ⊏_0 α} → [0, 1] с μ_α(α) = 1, σ-аддитивная.

То есть α «вероятностно нагружена»: её подартикуляции имеют веса, суммирующиеся до 1.

Классический vs квантовый​

  • Классическая вероятность: μ_α — скалярная мера, σ-алгебра — булева.
  • Квантовая: μ_α — через density operator Γ, σ-алгебра — проекторы в гильбертовом пространстве.

В Diakrisis оба — конкретные gauge-классы.

Класс Prob(𝖠)​

Def 33.2:

Prob(A):={α∈Trace(A):α вероятностна}.\mathrm{Prob}(\mathsf{A}) := \{\alpha \in \mathrm{Trace}(\mathsf{A}) : \alpha \text{ вероятностна}\}.

Prob(𝖠) — подкласс Trace(𝖠).

Структура Prob(𝖠)​

Замкнутость под 𝖬​

Теорема 33.T1: если α ∈ Prob(𝖠), то 𝖬(α) ∈ Prob(𝖠) (при согласованной μ-функториальности 𝖬).

Обоснование: 𝖬 индуцирует μ_{𝖬(α)} из μ_α через push-forward. σ-аддитивность сохраняется при функториальности. ∎

Следствие 33.C1: Prob(𝖠) — замкнутая подструктура под 𝖬.

Классическая артикуляция α_Kolmogorov​

Def 33.3: выделенная артикуляция α_K ∈ Prob(𝖠):

  • ρ(α_K) ≅ (Ω, ℱ, P) — стандартное Колмогоровское пространство.
  • ν_K ≈ ω.

Квантовая артикуляция α_quantum-prob​

Def 33.4: α_QP ∈ Prob(𝖠):

  • ρ(α_QP) ≅ (H, D(H)) — гильбертово пространство + density operators.
  • ν_{α_QP} ≈ ω·2.

Марковские артикуляции​

Определение​

Def 33.5 (Markov-артикуляция): α_M ∈ Prob(𝖠), на котором 𝖬 действует как Markov-оператор (условное распределение).

Теорема о смесях​

Теорема 33.T2: Markov-артикуляции образуют замкнутый класс под 𝖬.

Связь с динамикой​

Markov-цепи — специфический случай 𝖬-орбит в Prob(𝖠).

Квантово-мерные артикуляции​

Giry-монада​

Giry-монада G: Cat → Cat отображает X → 𝒫(X) (пространство вероятностных мер).

Теорема 33.T3 (Giry-монада в Diakrisis): существует α_Giry ∈ ⟪⟫ такая, что ρ(α_Giry) ≅ Giry-монада.

Обоснование: Giry — accessible endofunctor, по Axi-1 имеет представителя. ∎

Связь с 𝖬​

Следствие 33.C2: 𝖬 в контексте α_Prob связана с Giry-монадой.

Это даёт вероятностную трактовку метаизации: 𝖬(α) — «распределение вероятных α»?

Bayes inference в Diakrisis​

Определение​

Def 33.6 (Bayes-обновление): в α ∈ Prob(𝖠), наблюдение β ⊏_0 α обновляет μ_α:

μα(γ∣β)=μα(γ∧β)μα(β).\mu_\alpha(\gamma | \beta) = \frac{\mu_\alpha(\gamma \wedge \beta)}{\mu_\alpha(\beta)}.

Это — Bayes rule в Diakrisis.

Обучение как Bayes​

ML как Bayesian inference: α (prior) → 𝖬(α) (posterior через data).

Следствие 33.C3: ML-алгоритмы — Bayes-обновления в Prob(𝖠).

Применения​

К УГМ​

  • Γ ∈ D(ℂ⁷) — density operator.
  • ρ(α_uhm) — quantum probability space.
  • ℒ_Ω — CPTP (сохраняет trace = вероятность).

УГМ — конкретный случай α_QP в Diakrisis.

К физике​

  • Quantum mechanics: Born rule через μ_α.
  • Statistical mechanics: partition function через Prob(𝖠).
  • Path integrals: Feynman measures — специальный случай.

К ML и AI​

  • Neural networks: learning as Bayes.
  • Reinforcement learning: policies as distributions.
  • Generative models: sampling в Prob(𝖠).

Связь с другими разделами​

С information theory​

  • Shannon entropy (09): базируется на Prob(𝖠).
  • KL-divergence: D(α ∥ β) через μ_α, μ_β.
  • Channel capacity: max I через p(α).

С quantum logic​

  • α_quantum (логика): orthomodular lattice.
  • α_quantum-prob (вероятность): density operators.
  • Обе совместимы.

Признанные редукции​

  • Колмогоров (1933): probability theory.
  • Giry (1982): Giry monad.
  • Markov: Markov chains.
  • Bayes (1763): Bayes' theorem.

Итог​

  • Prob(𝖠) — вероятностно-мерные артикуляции.
  • Классическая (α_K) + квантовая (α_QP) — два gauge-класса.
  • 33.T1: Prob(𝖠) замкнуто под 𝖬.
  • 33.T3: Giry-монада в Diakrisis.
  • Связь с УГМ: Γ ∈ D(ℂ⁷) — естественный случай.
  • Связь с ML: learning as Bayes.

Следующий документ​

/02-canonical-primitive/07-categorification.