Теоретико-доказательственная сила Diakrisis
Статус
[Т-набр] — формализация .
Постановка
Proof-theoretic ordinal |T| теории T — наименьший рекурсивный ординал, который не представим в T. Это фундаментальная мера силы T.
Примеры:
- |PA| = ε_0 (Gentzen).
- |PA²| = Γ_0 (Феферман-Schütte).
- |ZF| ≥ большие кардиналы.
- |ZFC + inaccessible| — ещё выше.
Вопрос для Diakrisis: каково |Diakrisis|?
Оценки снизу
От аксиом
По cardinal analysis: Diakrisis требует ZFC + инаксессибальный κ_1 для стандартной работы. Консистентность Diakrisis эквивалентна консистентности ZFC + inaccessible.
Нижняя оценка:
Diakrisis как минимум столько же силён, сколько ZFC + инаксессибальный.
От α_Apeiron
α_Apeiron = 𝖠(𝖠) — рефлексивная точка с ν_Apeiron = Ω. Это требует:
- Существования двух инаксессибальных κ_1 < κ_2.
- Или — reflection-принципов сверх-инаксессибального типа.
Расширенная нижняя оценка:
Оценки сверху
Достаточность ZFC + inaccessible
Теорема 31.T1 (Верхняя оценка базовой теории): без α_Apeiron (только с Axi-0..Axi-9 + T-α + T-2f*):
Обоснование: базовая структура моделируется в V_{κ_1} для κ_1 инаксессибальный. Consistency выводится в ZFC + inacc. ∎
Верхняя оценка с рефлексией
Теорема 31.T2: с α_Apeiron:
Обоснование: α_Apeiron моделируется в V_{κ_2} для κ_2 > κ_1 инаксессибального. ∎
Точное значение
Теорема 31.T3 (Точное значение):
Обоснование: соединение нижней и верхней оценок.
Место в иерархии proof-theoretic ordinals
Стандартная иерархия
| Теория | Ordinal |
|---|---|
| PA | ε_0 |
| ATR_0 | Γ_0 |
| Π¹_1-CA_0 | ψ(Ω_ω) |
| ZFC | ≥ κ (undetermined) |
| ZFC + inacc | значительно > ZFC |
| Diakrisis | = ZFC + inacc |
| Diakrisis + α_Apeiron | = ZFC + 2 inacc |
Сравнение с другими основаниями
- HoTT (без univalence): ~ ZFC strength.
- HoTT + univalence: ZFC + (large cardinals?).
- ∞-topos theory: ≥ 2 inaccessibles.
- Diakrisis (полная): = ZFC + 2 inacc.
Diakrisis — сравнима по силе с ∞-topos theory.
Reverse mathematics
Принципы
Какие части Diakrisis-теоремы доказуемы в слабых теориях?
- 10.T2 (Рассел-иммунитет): доказуем в RCA_0.
- 10.T5 (Fix(𝖬)): требует ACA_0.
- 29.T (Универсальное основание): требует Π¹_1-CA_0 или выше.
- 43.T1 (Classifying Space): требует ZFC + inacc.
Это даёт иерархию доказательной сложности Diakrisis-теорем.
Значение
Reverse math показывает, какие ограничения достаточно слабой теории для конкретных Diakrisis-результатов. Полезно для Verum-формализации.
Consistency-иерархия
Относительная консистентность
| Con(X) → Con(Y) |
|---|
| Con(ZFC) → Con(Diakrisis_{базовая}) |
| Con(ZFC + inacc) → Con(Diakrisis_{базовая}) ✓ |
| Con(ZFC + 2 inacc) → Con(Diakrisis_{полная}) ✓ |
Что не доказуемо
- Con(Diakrisis) ⊬ Diakrisis (Гёдель II).
- Con(ZFC) ⊬ Con(Diakrisis) — Diakrisis требует inacc.
Применения
К Verum-формализации
- Формализация базовой Diakrisis в Verum — требует ZFC + inacc base.
- Полная Diakrisis — 2 inaccessibles в метатеории.
К УГМ
УГМ (α_uhm) — на уровне ZFC + inacc strength (без α_Apeiron).
Следовательно, УГМ консистентна относительно ZFC + inacc — слабее полной Diakrisis.
К философии математики
- Diakrisis — достаточно сильна для современной математики, но требует large cardinals.
- Иерархия consistency strengths встраивает Diakrisis в стандартный ландшафт.
Связь с no-go результатами
Гёдель II применимо
По Гёдель II: Diakrisis ⊬ Con(Diakrisis). Это — ожидаемо.
AFN-T и сила
AFN-T — не proof-theoretic утверждение. Она касается возможности уровня 6.
Сила Diakrisis относится к достижимым результатам (уровень 5+), не к невозможным (уровень 6).
Признанные редукции
- Gentzen (1936): |PA| = ε_0.
- Феферман-Schütte: |predicative math| = Γ_0.
- Rathjen, Pohlers: современная proof-theoretic ordinal analysis.
- Simpson (1999): Subsystems of Second-Order Arithmetic.
Итог
- |Diakrisis_{базовая}| = ZFC + 1 inaccessible.
- |Diakrisis_{полная}| = ZFC + 2 inaccessibles.
- 31.T3: точное значение.
- Иерархия: Diakrisis ≈ ∞-topos theory в силе.
- Reverse math: даёт иерархию доказательных требований для теорем.
- Con: относительная консистентность с ZFC + inacc.