Перейти к основному содержимому

Категорификация и декатегорификация в Diakrisis

Статус​

[Т-набр] — формализация .

Категорификация — программа Baez-Dolan​

Концепция​

Категорификация: переход от n-категории к (n+1)-категории через «подъём размерности» морфизмов.

  • 0-category: множество (sets).
  • 1-category: категория (с морфизмами).
  • 2-category: 2-категория (с 2-морфизмами).
  • ...

Пример: натуральные числа (ℕ) → категория конечных множеств (FinSet). Декатегорификация FinSet → ℕ через count.

Правила​

  • Категорификация: структурно добавляет уровень.
  • Декатегорификация: «забывает» верхний уровень через эквивалентность.

Категорификация как 𝖬-итерация​

Главное наблюдение​

Теорема 36.T1 (Категорификация = 𝖬): для α ∈ Trace(𝖠):

Categorification(α)=M(α).\mathrm{Categorification}(\alpha) = \mathsf{M}(\alpha).

То есть: 𝖬-итерация в точности соответствует категорификации.

Обоснование: 𝖬 — метаизация («говорение об α»). Категорификация — «подъём уровня», добавление нового уровня морфизмов. Оба процесса структурно совпадают: от α_n к α_{n+1}, где разница — добавление (n+1)-морфизмов (т.е. «говорение» о n-морфизмах α_n). ∎

Пример:

  • α_set (ν = ω) → 𝖬(α_set) = α_cat (ν = ω+1).
  • α_cat → 𝖬(α_cat) = α_2cat.
  • α_{n-cat} → 𝖬(α_{n-cat}) = α_{(n+1)-cat}.

Это — прямая лестница Baez-Dolan.

Трансфинитные категории​

Следствие 36.C1: 𝖬-башня на α_set даёт полную иерархию:

  • α_set = 𝖬⁰(α_set).
  • α_cat = 𝖬¹(α_set).
  • α_2cat = 𝖬²(α_set).
  • ...
  • α_∞cat = 𝖬^ω(α_set) — (∞, 1)-категории.
  • α_∞∞cat = 𝖬^{ω+1}(α_set) — (∞, ∞)-категории.

Все — точки Trace(𝖠) на разных ординальных позициях.

Декатегорификация​

Определение​

Def 36.1 (Декатегорификация): обратный процесс к 𝖬, если существует:

Decat(M(α))→α.\mathrm{Decat}(\mathsf{M}(\alpha)) \to \alpha.

Существование​

Теорема 36.T2: декатегорификация существует при accessibility inverse 𝖬^{-1} (как left adjoint).

Обоснование: 𝖬^L ⊣ 𝖬 из раздела modal interpretation. ∎

Следствие: категорификация обратима при подходящей структуре. В общем случае — с потерей информации.

Размерные уровни и categorification​

Стандартная иерархия​

nn-категорияПримеры
0множествоℕ, ℝ
1категорияSet, Grp, Vect
22-категорияCat, Prof
33-категория2Cat, Rel(2Cat)
.........
∞(∞,1)-категория∞Grpd, ∞Top
(∞,∞)full ∞-categoryЛюри's program

В Diakrisis — все уровни в Trace(𝖠).

Ординалы и categorification​

Теорема 36.T3: ν(α) = уровень категорификации α.

Обоснование: число 𝖬-итераций от α_0 = ν(α).

Концепции, требующие categorification​

Основные​

  • Групповая когомология → групповая n-когомология.
  • Кольца → n-кольца (ring spectra).
  • Модули → n-модули (module spectra).
  • Связки → n-связки (stacks, ∞-stacks).

В физике​

  • Calibrations: 0-cal → 1-cal → ... → n-cal.
  • Gauge theories: U(1)-gauge → n-gauge.
  • Anomalies: категорификация в TQFT.

Иерархия теорий​

Следуя 36.T1​

  • α_set: нулевая категорификация.
  • α_cat: 1-я.
  • α_∞cat: трансфинитная.
  • α_zfc: специфическая точка в Trace(𝖠).
  • α_hott: HoTT — содержит ∞-groupoid структуру, т.е. высшую категорификацию.

Применения​

К mathematics​

  • Higher algebra (Люри): алгебра в высших категориях.
  • Derived categories: через категорификацию.
  • TQFT: топологические квантовые теории поля — higher categorical.

К УГМ​

УГМ (α_uhm) имеет ν = ω·3+1. Следовательно:

  • α_uhm получается через ω·4 итераций 𝖬.
  • Это включает несколько шагов категорификации.
  • В частности, включает 2-категорную структуру для операций + регенерацию.

К физике​

  • SM: через n-gauge theories.
  • GR: через n-groupoids of diffeomorphisms.
  • QG: через ∞-categorical quantum gravity (программа).

Связь с другими разделами​

С cohesion​

  • Cohesive ∞-topos: категорифицированная когезия.
  • Π ⊣ ♭ ⊣ ♯ ⊣ ι — adjoints между n-category levels.

С sheaf-structure​

  • ∞-sheaves: категорифицированные sheaves.
  • Sh(B, J) как 2-topos.

С derived-structures (следующий документ)​

  • Derived categories = категорификация обычных.
  • Derived functors = n-functors с коррекцией.

Признанные редукции​

  • Baez-Dolan (1995-1998): categorification program.
  • Люри (2009): HTT — higher categorification.
  • Ловер-Rosebrugh (2003): Sets for Mathematics.
  • Baez et al. (2010): physics through categorification.

Итог​

  • 36.T1: категорификация = 𝖬.
  • 36.T2: декатегорификация как left adjoint.
  • 36.T3: ν = уровень категорификации.
  • Иерархия: sets → cats → 2-cats → ... → ∞-cats.
  • УГМ: ν = ω·3+1 — многоуровневая категорификация.
  • Применения: higher algebra, HoTT, Люри HTT.

Следующий документ​

/02-canonical-primitive/08-derived-structures.