Gauge-структура Diakrisis
Статус
[Т] — gauge-структура G = Autoequiv_2(⟪⟫) установлена через 101.T-эквивалент + Келли автоморфизмы 2-категорий.
Центральная идея
α_math — gauge-выбор. Разные α_math дают разные ρ-реализации той же самой ⟪⟫-структуры.
Зачем gauge-структура в основании
Gauge-структура в мат-основании — не искусственное усложнение. Она:
- Отражает реальную свободу выбора линзы наблюдения.
- Связывает разные основания (ZFC ∼ ETCS как gauge-эквивалентные).
- Формализует идею «Морита-эквивалентности» в категорных основаниях.
- Обеспечивает структурное пространство 𝓜_Fnd.
Без gauge-структуры — каждое основание изолировано, нет пространства сравнения.
Gauge-класс
Определение (gauge-класс): α_math^{(1)} ∼_{gauge} α_math^{(2)} ⇔ ∃ τ: α_math^{(1)} → α_math^{(2)} такая, что ρ-проекции согласованы до τ-преобразования.
Это — ортогональная симметрия относительно двойственности ⟪⟫/⟪⟫^op.
Формализация gauge-отношения
Бинарное отношение ∼_gauge на Ob(⟪⟫):
- Рефлексивно: α ∼_gauge α через id.
- Симметрично: если α ∼_gauge β через τ, то β ∼_gauge α через τ^{-1}.
- Транзитивно: если α ∼_gauge β и β ∼_gauge γ, то α ∼_gauge γ через композицию.
Следовательно, ∼_gauge — отношение эквивалентности. Классы эквивалентности — gauge-классы.
Gauge-класс vs Morita-класс
- Gauge-класс: α_1 ∼_gauge α_2 ⟺ есть автоэквивалентность, связывающая их ρ-проекции.
- Morita-класс: α_1 ∼_Morita α_2 ⟺ ρ(α_1) ≃ ρ(α_2) (без требования конкретного преобразования).
В большинстве случаев ∼_gauge = ∼_Morita, но в некоторых моделях могут отличаться (при наличии выбора автоэквивалентностей).
Gauge-группа
Совокупность gauge-преобразований образует 2-группу 𝐆_gauge.
В УГМ-контексте: 𝐆_gauge может содержать gauge-группу стандартной модели физики (U(1) × SU(2) × SU(3)) в соответствующей реализации (05.H2 / SM.T1).
Структура 2-группы
2-группа — группа с дополнительной 2-категорной структурой:
- Объекты: элементы группы (автоэквивалентности).
- 1-морфизмы: группа Hom(g, h) при каждой паре (g, h).
- 2-морфизмы: изменения 1-морфизмов.
- Композиция: групповая операция.
Конкретные примеры gauge-групп
- Стандартная gauge-группа: U(1) × SU(2) × SU(3) (Стандартная модель).
- Электродинамика: U(1).
- Общая теория относительности: Diff(M) — diffeomorphisms.
- HoTT: univalence — gauge-симметрия.
- В α_uhm: S₇-симметрия (7 инвариантов УГМ).
Gauge vs semi-gauge
- Gauge (полная): G действует свободно и транзитивно — все элементы класса эквивалентны.
- Semi-gauge (частичная): G действует, но не транзитивно — классы могут подразделяться.
В Diakrisis — gauge в классическом смысле (на 𝓜_Fnd действие транзитивно внутри классов).
Gauge-инварианты
Свойство P α-инвариантно, если истинно независимо от выбора α_math (в рамках gauge-класса).
Примеры:
- Принадлежность к Fix(𝖬) — инвариантно.
- Активность α (не Ёнеда-представимость) — инвариантно.
- Глубина mindepth — инвариантно.
Классификация инвариантов
Геометрические инварианты (свойства формы):
- Ob(⟪⟫) (класс объектов).
- Fix(𝖬) (неподвижные точки).
- A_init, A_fin (коalgebraic ends).
Топологические инварианты (свойства связности):
- Π(α) (компоненты).
- mindepth (глубина связи).
- Gauge-класс в 𝓜_Fnd.
Структурные инварианты (свойства операций):
- Активность α (Ёнеда-представимость).
- Accessibility 𝖬.
- 2-категорность ⟪⟫.
Все эти — gauge-инвариантны: не меняются при выборе α_math.
Не-инварианты (зависящие от α_math)
- ρ(α) конкретно (зависит от α_math).
- [α_math, α] как конкретный функтор.
- Конкретные представители gauge-классов.
ρ как связность
ρ «указывает», как α связана с α_math. При gauge-преобразовании:
Это — параллельный transport в обобщённом смысле.
Связь с дифференциальной геометрией
В diff-geom, connection на расслоении — способ «параллельно переносить» вдоль пути. При gauge-преобразовании конкретная форма connection меняется, но curvature (кривизна) — инвариант.
У нас:
- ρ ↔ connection.
- ρ ∘ 𝖬 vs 𝖬 ∘ ρ (разность по Axi-6) ↔ curvature.
- Gauge-преобразование τ ↔ local gauge transformation.
Формальная аналогия делает физическую интуицию применимой.
Curvature как нетривиальность
По Axi-6: ρ и 𝖬 не перестановочны. Следствие: их разность (коммутатор) [ρ, 𝖬] — нетривиальна.
Это — кривизна Diakrisis-структуры. Она инвариантна относительно gauge.
Морита-эквивалентность
Две артикуляции α_1, α_2 Морита-эквивалентны, если ρ(α_1) ≃ ρ(α_2).
По 29.C1: ZFC ∼_M ETCS, HoTT ∼_M MLTT при соответствующих формализациях.
Развёрнутая таблица Морита-эквивалентностей
| α_1 | α_2 | Морита-эквив. | Условие |
|---|---|---|---|
| α_zfc | α_etcs | ✓ | Ловер 1964 |
| α_hott | α_mltt | ✓ | При добавлении univalence |
| α_uhm | α_ncg | ~ | Частично, для specific subalgebras |
| α_zfc | α_hott | ✗ | Разные gauge-классы |
| α_zfc | α_cic | ✓ | Coquand-Paulin 1990 |
Свойства Морита-эквивалентности
- Рефлексивность: α ∼_M α (тривиально).
- Симметрия: α_1 ∼_M α_2 ⟺ α_2 ∼_M α_1.
- Транзитивность: Морита-эквивалентные отношения могут композироваться.
- Сохранение: все gauge-инварианты сохраняются через Морита-эквивалентность.
Морита в 𝓜_Fnd
Морита-классы соответствуют точкам 𝓜_Fnd. То есть:
- {ZFC, ETCS, NBG, Morse-Kelley} — одна точка 𝓜_Fnd.
- {HoTT, MLTT+univalence} — другая точка.
- {УГМ, NCG-related} — третья.
Это — структурное представление ландшафта оснований.
Признанные редукции
- Gauge-структура — параллель со standard gauge theory.
- Морита-эквивалентность — стандартная из теории категорий.
Детализация редукций
| Наш элемент | Редукция | Источник |
|---|---|---|
| Gauge-группа G | Automorphism 2-group | Келли 1982 |
| Gauge-класс | Morita equivalence class | Morita 1958 |
| Gauge-действие | Group action on moduli | Classical |
| ρ как connection | Principal bundle connection | Kobayashi-Nomizu |
| Curvature | Non-commutativity ρ-𝖬 | Gauge theory |
| 𝓜_Fnd | Moduli stack of foundations | Люри, DAG |
Что не стандартно
- Применение к основаниям: gauge-анализ мат-оснований — не найден в литературе до Diakrisis.
- Мета-функция 𝓜_Fnd: модули-стек оснований как объект изучения.
- Связь с УГМ: физическое применение gauge-анализа к УГМ-сборке.
Gauge-преобразования в конкретных сборках
В α_zfc
- G = Aut(Set) = группа автоэквивалентностей Set.
- Преобразования: переименования, пермутации, монада-переформулировки.
- ETCS-формулировка ZFC — gauge-преобразование.
В α_hott
- G включает univalence как центральную gauge-симметрию.
- Преобразования: замена эквивалентных типов, пропозициональная усечение.
- MLTT без univalence — другая gauge-класс.
В α_uhm
- G = S₇ × U(1) × SU(2) × SU(3) (approx).
- Преобразования: S₇-пермутации 7 инвариантов, gauge-группы стандартной модели физики.
- Конкретное действие на Γ ∈ D(ℂ⁷) — специфично для УГМ.
Связь с когезией (предыдущий документ)
Gauge-структура совместима с когезией:
- g(Π(α)) ≃ Π(g(α)).
- g(♭(α)) ≃ ♭(g(α)).
- g(♯(α)) ≃ ♯(g(α)).
Четыре модальности Π ⊣ ♭ ⊣ ♯ ⊣ ι — все gauge-эквивариантны.
Связь с фибрацией
Gauge-группа действует на волокнах Op(⟪⟫):
- Для (α, F) ∈ Op(⟪⟫) и g ∈ G: g · (α, F) := (g(α), g * F * g^{-1}).
- Это — principal G-bundle над ⟪⟫ в 2-категорном смысле.
Связь: fibration + gauge-действие = principal 2-bundle.
Gauge-физика в Diakrisis
Gauge-анализ оснований даёт концептуальные результаты:
- Equivalence of formulations: ZFC vs ETCS — просто разные gauge-представители одного основания.
- Physical gauge: gauge-группы физики (U(1)×SU(2)×SU(3)) — специальный случай G в α_sm.
- УГМ как gauge-unified: единая формальная gauge-структура покрывает мат-основания и физическую gauge-теорию.
Последний пункт — наиболее амбициозное применение, разрабатываемое в Пути Б.