ι-вложение — строгая конструкция

Статус

[Т] с конструкцией.

Задача

Axi-1 постулирует существование 2-полностью-верного вложения ι: End(⟪⟫) ↪ ⟪⟫. Здесь — конструкция такого вложения.

Что нужно обеспечить

Конструкция должна:

• Быть каноничной (не произвольной).
• Обеспечивать 2-fully-faithful сохранение.
• Совместимость с gauge-симметрией (не зависит от выбора конкретных представителей).
• Давать консистентную модель (в Cat-примере).

Конструкция

Стадия 1 — представимые endofunctors

Для F ∈ End(⟪⟫), если F представим (т. е. ∃ α_F с F(β) ≃ Hom(α_F, β)), то:

$\iota(F) := \alpha_F.$

По стандартной Ёнеда-лемме в 2-категорном варианте.

Формальная Ёнеда для 2-категорий

Лемма Ёнеда 2 (Келли, 1982): Для 2-категории C, 2-функтор $y: C \to [C^{op}, \mathrm{Cat}]$ $y(X)(-) = \mathrm{Hom}_C(-, X)$ является 2-полностью-верным.

Следствие: представимые endofunctors — те, которые в образе y (с точностью до эквивалентности) — соответствуют объектам C.

Стадия 2 — непредставимые endofunctors

Для F ∉ Rep(⟪⟫), ι(F) получается через free completion — добавление виртуального объекта, ведущего себя как F.

Формально: расширяем ⟪⟫ до ⟪⟫̃ так, что для каждого непредставимого F добавляется объект α_F с соответствующей хом-структурой.

Детали free completion

Процедура:

1. Для каждого F ∉ Rep(⟪⟫), создать новый объект α_F.
2. Определить Hom_{⟪⟫̃}(α_F, β) := F(β) для всех β ∈ Ob(⟪⟫).
3. Определить Hom_{⟪⟫̃}(β, α_F) := стандартная индуктивная конструкция.
4. Проверить когерентность: композиции определены корректно, ассоциативность выполняется.

Это — стандартная свободная когомплетция (free cocompletion) 2-категории.

Стадия 3 — отождествление

Принимаем ⟪⟫ = ⟪⟫̃. Это — часть Axi-1 (ⓓ она не просто стандартная 2-категория, а завершённая под своими эндо-операциями).

Следствие отождествления

После отождествления:

• Каждый F ∈ End(⟪⟫) имеет представителя ι(F) ∈ Ob(⟪⟫).
• Свойства ⟪⟫ (локальная малость, 2-категорность) сохраняются.
• ⟪⟫ становится внутренне замкнутой.

Свойства

Свойство ι-1 (функториальность): ι(F ∘ G) ≃ ι(F) ⊗ ι(G), где ⊗ — подходящая композиция в ⟪⟫.

Свойство ι-2 (собственное вложение): ι не сюрьекция. Есть артикуляции (α_set, α_uhm и т. д.), не являющиеся образами ι.

Дополнительные свойства

Свойство ι-3 (2-fully-faithful): для F, G ∈ End(⟪⟫), отображение $\mathrm{Hom}_{\mathrm{End}}(F, G) \to \mathrm{Hom}_{\llbracket\cdot\rrbracket}(\iota(F), \iota(G))$ — эквивалентность категорий.

Свойство ι-4 (сохранение id): ι(id_{⟪⟫}) = α_{id} — выделенный объект (обычно — инициальный или терминальный).

Свойство ι-5 (совместимость с gauge): для g ∈ G (gauge-группа), ι(g ∘ F ∘ g^{-1}) ≃ g(ι(F)).

Применение ι к 𝖬

По Axi-2, 𝖬 ∈ End(⟪⟫). По Axi-1 + ι-1:

$\alpha_{\mathsf{M}} := \iota(\mathsf{M}) \in \mathrm{Ob}(\llbracket\cdot\rrbracket).$

α_𝖬 — представитель 𝖬 в ⟪⟫. По Axi-7, ρ(α_𝖬) взаимодействует с ρ через Axi-7-свойство.

Признанные редукции

• Стадия 1 — стандартная Ёнеда.
• Стадия 2 — стандартная free completion.
• Стадия 3 — стандартное принятие расширения.

Полная конструкция не нова; её применение к Diakrisis-структуре — специфическое.

Детальные редукции

Часть ι	Редукция	Источник
Ёнеда для 2-cat	2-Ёнеда embedding	Келли 1982
Free cocompletion	Standard construction	MacLane 1971
2-fully-faithful	Standard notion	Келли, Bénabou
Внутренний хом	Cartesian closure	Eilenberg-Келли 1966

Всё — стандартная техника. Новое — комбинация в контексте Diakrisis с axi-1 как требованием.

α_𝖬 через ι

Применение к 𝖬:

$\alpha_{\mathsf{M}} := \iota(\mathsf{M}) \in \mathrm{Ob}(\llbracket\cdot\rrbracket).$

Интерпретация α_𝖬

• Формально: объект ⟪⟫, представляющий эндо-функтор 𝖬.
• Феноменологически: «артикуляция, говорящая о метаизации».
• В Cat-модели: специфическая малая категория (например, симплициальный объект).

Свойства α_𝖬

• α_𝖬 ∈ Ob(⟪⟫): объект, не функтор.
• ρ(α_𝖬) ≈ 𝖬: их ρ-образы связаны через Axi-7.
• Axi-8: в строгой форме, α_𝖬 не Ёнеда-представим (часто нарушается в Cat-модели).

Проблемы и ограничения ι

Проблема 1: не-уникальность

Если ⟪⟫ содержит несколько изоморфных объектов, ι(F) определён с точностью до изоморфизма. В строгом смысле ι — 2-функтор, который сохраняет структуру, но не выделяет канонического представителя.

Решение: работаем с классами изоморфизма или выбираем каноническую скелетизацию.

Проблема 2: размерные

Если End(⟪⟫) содержит слишком много endofunctors (больше, чем Ob(⟪⟫) позволяет), ι не может быть определено.

Решение: требуется достаточная богатость ⟪⟫ (Axi-9: достаточность). В Cat-модели проверяется, что Ob(Cat) содержит все нужные объекты.

Проблема 3: Axi-8 нарушение

В Cat-модели часто α_𝖬 оказывается Ёнеда-представимым (вопреки Axi-8).

Решение: это — известное ограничение модели (часть AFN-T). Работа с не-LP моделями — открытая программа.

Интерпретация в конкретных сборках

В α_zfc

• End(Cat_ZFC) — endofunctors на категории ZFC-множеств.
• ι: каждый F ↦ malenkaya category, представляющая F.
• α_𝖬 в этой модели — конкретная категория.

В α_hott

• End(HoTT) — endofunctors на universe HoTT.
• ι: каждый F ↦ type, representing F.
• α_𝖬 — type, представляющий модальный оператор.

В α_uhm

• End(D(ℂ⁷)) — CPTP-каналы или более общие операции.
• ι: каждая операция ↦ плотностная матрица.
• α_𝖬 — конкретная ρ* (регенерационная неподвижная точка).

Следующий документ

/03-formal-architecture/02-cohesion — когезивная структура.