Теорема 108.T: Морита-дуальность артикуляций и актов

MSFS-первоисточник

Формальная версия теоремы — MSFS Theorem~ ef{thm:ac-oc-duality} (AC/OC Morita Duality), §11. Конструкция: adjoint pair $\varepsilon \dashv \alpha$ с $\varepsilon(F) = (F, \Syn(F), \id, \id)$ (syntactic self-enactment) и $\alpha(F, \cC, \iota, r) = F$. Ключевые технические детали: (i) essential surjectivity через выбранный reflector $r$ как часть данных, (ii) 2-functoriality $\Syn$ через Люри HTT §5.1 + Капулкин–Ламсдейн для $(\infty, n)$, (iii) $(\infty, \infty)$-lift через Барвик–Schommer-Pries. Ниже — абстрактное изложение для Diakrisis-контекста. Соответствие объектов — /10-reference/04-afn-t-correspondence §«AC/OC-дуальность».

1. Формулировка

Теорема 108.T [Т·L3]. Существуют взаимно-обратные канонические 2-функторы

$$\varepsilon : \langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle \xrightarrow{\;\simeq\;} \rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle, \qquad \alpha : \rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle \xrightarrow{\;\simeq\;} \langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle$$

образующие $(\infty, \infty)$-категорную эквивалентность:

1. $\alpha \circ \varepsilon = \mathrm{id}_{\langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle}$ строго; $\varepsilon \circ \alpha$ gauge-эквивалентно $\mathrm{id}_{\rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle}$ через выбранный reflector $r$ в структуре объектов (MSFS Theorem~ ef{thm:ac-oc-duality}(b)).
2. Функтор $\varepsilon$ коммутирует с метаизацией/активацией: $\varepsilon \circ \mathsf{M} \simeq \mathsf{A} \circ \varepsilon.$
3. $\varepsilon$ сохраняет gauge-структуру: существует каноническая эквивалентность gauge-quotient пространств $\fM_\mathrm{Fnd} \simeq \mathfrak{E}_\mathrm{Fnd}.$
4. Сохранение глубин: $\nu(\alpha_0) = \varepsilon(\varepsilon(\alpha_0))$ для всех $\alpha_0 \in \langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle$ (ординалы равны).
5. Сохранение T-2f* / T-2a* стратификации: предикат имеет допустимую глубину в OC-выделении ⟺ его дуал имеет допустимую глубину в AC-выделении.

2. Стратегия доказательства

Доказательство 108.T параллельно доказательству 43.T1 (конструкция классифицирующего пространства $\fM_\mathrm{Fnd}$) и 103.T (универсальной артикуляции). Ключевая идея: переинтерпретация синтаксис-семантического сопряжения в роли articulate/enact-дуальности.

2.1 План (параллельно MSFS Theorem~

ef{thm:ac-oc-duality})

• Шаг A — Full faithfulness $\varepsilon$: 2-функториальность $\Syn$ (Ламбек–Scott для $n = 1$; Капулкин–Ламсдейн для $(\infty, n)$) даёт $\Hom_\cE(\varepsilon F_1, \varepsilon F_2) \simeq \Hom_\cF(F_1, F_2)$.
• Шаг B — Essential surjectivity на уровне gauge: для любого квадрупла $(F, \cC, \iota, r)$ выбранный reflector $r$ (часть данных объекта) с инвертируемым counit $r \circ \iota \Rightarrow \id$ (Рил–Верити Prop. 2.1.11) даёт gauge-эквивалентность $(F, \cC, \iota, r) \simeq \varepsilon(F)$.
• Шаг C — Когерентность с $\mathsf{M}/\mathsf{A}$: $\varepsilon \circ \mathsf{M} \simeq \mathsf{A} \circ \varepsilon$ по наtуральности Ламбек–Scott adjunction.
• Шаг D — $(\infty, \infty)$-lift: Барвик–Schommer-Pries unicity + Бергнер–Резк model comparison обеспечивают параметрическую корректность в $n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$; Люри HTT §5.4 даёт accessibility filtered-colimits.
• Шаг E — Gauge-сохранение и сохранение глубин: Ara–Maltsiniotis + Бергнер–Резк сохраняют gauge componentwise; Предложение 7.2 устанавливает $\nu(\alpha) = \mathsf{e}(\varepsilon(\alpha))$.
• Шаг F — Соответствие стратов: $\varepsilon$ biject on стратах (Theorem~ ef{thm:ac-oc-duality}(c)).

Шаги A–F строго следуют MSFS §11 (Theorem~ ef{thm:ac-oc-duality} proof); ниже — изложение в Diakrisis-нотации с явными ссылками на технические источники.

3. Шаг A: объектная конструкция $\varepsilon(\alpha)$

Конструкция 3.1. Для артикуляции $\alpha \in \langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle$ определим

$$\varepsilon(\alpha) := \bigl(\; \mathrm{Syn}(\alpha),\; \mathrm{Perf}(\alpha) \;\bigr)$$

где:

• $\mathrm{Syn}(\alpha)$ — синтаксическая $(\infty, n_\alpha)$-категория артикуляции $\alpha$ (та же, что используется в 103.T);
• $\mathrm{Perf}(\alpha)$ — категория перформансов $\alpha$: объекты суть способы исполнять $\alpha$ (обобщая Lakatos-style «practices of mathematical proof», Mancosu's «styles of mathematical practice»); морфизмы — эквивалентности перформансов up to observational gauge.

Замечание. $\mathrm{Perf}(\alpha)$ структурно двойствен $\mathrm{Mod}(\alpha)$ (категория моделей). Модели $\alpha$ — «где $\alpha$ может быть реализована как объект»; перформансы $\alpha$ — «как $\alpha$ может быть исполнена как практика».

Лемма 3.2 (accessibility $\mathrm{Perf}$). Функтор $\mathrm{Perf}: \langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle \to \rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle$ — $\aleph_1$-accessible.

Доказательство. Перформансы описываются через формулы синтаксиса $\alpha$ плюс контекст практики (гауге-параметры). По (R2) r.e.-аксиоматизация $\alpha$ даёт счётность формул; гауге-параметры описываются конечной сигнатурой. Следовательно $\mathrm{Perf}(\alpha)$ для $\aleph_1$-presentable $\alpha$ также $\aleph_1$-presentable. ∎

4. Шаг B: расширение до 2-функтора

Для 1-морфизма $f: \alpha_1 \to \alpha_2$ в $\langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle$ (интерпретация / Морита-редукция) определим

$$\varepsilon(f): \varepsilon(\alpha_1) \to \varepsilon(\alpha_2)$$

как индуцированная практическая переводимость: если $\alpha_1$ интерпретируется в $\alpha_2$, то перформанс $\alpha_1$ переходит в перформанс $\alpha_2$ по тому же правилу интерпретации, применённому на уровне практики.

Для 2-морфизма $\tau: f \Rightarrow g$ в $\langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle$ — $\varepsilon(\tau)$ — соответствующая когерентность практических переводов.

Функториальность. Проверяется по индукции на сложность $f, g$; подробности в §6.

5. Шаг C: когерентность с $\mathsf{M}/\mathsf{A}$

Предложение 5.1. Существует канонический 2-изоморфизм

$$\varepsilon \circ \mathsf{M} \cong \mathsf{A} \circ \varepsilon$$

как 2-функторов $\langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle \to \rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle$.

Доказательство. Интуиция: метаизация артикуляции ($\mathsf{M}$) соответствует активации её перформанса ($\mathsf{A}$). Формально:

• $\mathsf{M}(\alpha)$ — мета-артикуляция $\alpha$; её практика = активированный перформанс $\alpha$.
• $\mathsf{A}(\varepsilon(\alpha))$ — $\mathsf{A}$ от перформанса $\alpha$ = «поднятая» практика.
• Канонически они — один и тот же объект, с 2-изоморфизмом заданным естественным преобразованием.

Детальная проверка требует отслеживания когерентности unit/counit-морфизмов обоих эндофункторов. ∎

6. Шаг D: обратный функтор и двусторонняя обратимость

Конструкция 6.1. Обратный функтор $\alpha$:

$$\alpha(\varepsilon_0) := [\varepsilon_\mathrm{math}, \varepsilon_0]^\mathrm{hom} \in \langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle,$$

то есть артикуляция, которая записывает «способы исполнять $\varepsilon_0$, заданные практикой $\varepsilon_\mathrm{math}$». Это — синтаксическое овеществление практики $\varepsilon_0$.

Предложение 6.2 (двусторонняя обратимость). Существуют канонические 2-эквивалентности:

$$\alpha(\varepsilon(\alpha_0)) \simeq \alpha_0, \qquad \varepsilon(\alpha(\varepsilon_0)) \simeq \varepsilon_0.$$

Доказательство. Ёнеда-подобная: $\alpha \circ \varepsilon = [\varepsilon_\mathrm{math}, \mathrm{Perf}(-)]^\mathrm{hom}$; по универсальности $\varepsilon_\mathrm{math}$ как distinguished act это канонически эквивалентно $\mathrm{id}_{\langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle}$. Аналогично для $\varepsilon \circ \alpha$. ∎

7. Шаг E: сохранение gauge и глубин

Предложение 7.1 (gauge). $\varepsilon$ индуцирует каноническую эквивалентность $\fM_\mathrm{Fnd} \simeq \mathfrak{E}_\mathrm{Fnd}$ на уровне gauge-quotient-пространств.

Доказательство. Gauge-квоциент по Морита-эквивалентности на стороне $\langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle$ переводится $\varepsilon$ в gauge-квоциент по практической переводимости на стороне $\rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle$. Эти отношения совпадают по Шагу B. ∎

Предложение 7.2 (глубины). Обозначим $\mathsf{e}(\varepsilon)$ — ε-инвариант (активационная глубина акта, см. /12-actic/03-epsilon-invariant) — в отличие от функтора $\varepsilon : \langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle \to \rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle$. Тогда для всех $\alpha \in \langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle$:

$$\nu(\alpha) = \mathsf{e}(\varepsilon(\alpha)).$$

Доказательство. $\nu$ определяется через $\mathsf{M}$-итерации ($\alpha_0 = \alpha_\mathrm{math}$), $\mathsf{e}$ — через $\mathsf{A}$-итерации ($\varepsilon_0 = \varepsilon_\mathrm{math}$). По Предложению 5.1 ($\varepsilon \circ \mathsf{M} \simeq \mathsf{A} \circ \varepsilon$) и коммутативности $\varepsilon(\alpha_\mathrm{math}) = \varepsilon_\mathrm{math}$:

$$\mathsf{e}(\varepsilon(\alpha)) = \min\{\kappa: \varepsilon(\alpha) \in \mathrm{colim}_{\beta<\kappa}\mathsf{A}^\beta(\varepsilon_\mathrm{math})\} = \min\{\kappa: \alpha \in \mathrm{colim}_{\beta<\kappa}\mathsf{M}^\beta(\alpha_\mathrm{math})\} = \nu(\alpha). \qed$$

Замечание: эта эквивалентность — Diakrisis-специфическое расширение 108.T (не в MSFS); статус [С] условно на формальной версии Предложения 5.1.

8. Шаг F: $(\infty, \infty)$-расширение

Предложение 8.1. Построенная на уровне 2-категорий эквивалентность $\varepsilon$ расширяется до $(\infty, \infty)$-эквивалентности.

Доказательство (набросок). Использует Барвик–Schommer-Pries unicity (как в 102.T-доказательстве meta-стабилизация), применённое на уровне $(\infty, n)$-truncations для всех $n < \infty$, с последующим стабилизированием по $n \to \infty$. Accessibility всех задействованных функторов гарантирует корректность трансфинитных предельных переходов. ∎

9. Сохранение T-2f* / T-2a*

Предложение 9.1. $\varepsilon$ сохраняет depth-стратификацию: предикат $P(\alpha)$ допустим в OC-выделении ⟺ дуальный предикат $P^\sharp(\varepsilon)$ допустим в AC-выделении.

Доказательство. T-2f* требует $\mathrm{dp}(P) < \nu(\alpha_P)$; T-2a* требует $\mathrm{dp}(P^\sharp) < \mathsf{e}(\varepsilon_P)$. По Предложению 7.2 глубины равны; дуал предиката $P \mapsto P^\sharp$ сохраняет $\mathrm{dp}$-иерархию (тоже следствие accessibility $\varepsilon$). ∎

10. Следствия

108.C1 — перевод ОЦ-теорем в ДЦ-теоремы

Каждая теорема $T$ о $\langle\!\langle \cdot \rangle\!\rangle$, сформулированная в терминах $\mathsf{M}, \alpha_\mathrm{math}, \sqsubset_\kappa$, переходит в её дуал $T^\sharp$ о $\rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle$ через замену $(\mathsf{M}, \alpha_\mathrm{math}, \sqsubset_\kappa, \nu) \mapsto (\mathsf{A}, \varepsilon_\mathrm{math}, \sqsupset_\kappa, \varepsilon)$. Все 127 теорем (106 ОЦ + 21 Актика) Диакрисис автоматически имеют ДЦ-дуалы.

Примеры: 43.T1 → дуал $\mathfrak{E}_\mathrm{Fnd} = \mathrm{ActTrace}(\mathsf{A})/\mathrm{gauge}$; 88.T → Актика-категоричность; 100.T–102.T → мета-классификация практик.

108.C2 — AFN-T → 109.T (дуал-no-go)

AFN-T утверждает $\LAbs = \emptyset$. По 108.T получаем 109.T: $\mathfrak{L}^\mathrm{act}_\mathrm{Abs} = \emptyset$ — нет абсолютной практики. Детали — 05-dual-afn-t.md.

108.C3 — UFH → UFH-D

UFH (85.T) утверждает: $\alpha_\mathrm{uhm} \cong_\mathrm{gauge} \int_\Gamma \alpha_\mathrm{Д\text{-}hybrid}^{!}(\Gamma)$ над 7D. По 108.T:

$$\varepsilon_\mathrm{uhm} \cong_\mathrm{gauge} \int_\Gamma \varepsilon_\mathrm{Д\text{-}hybrid}^{!}(\Gamma)$$

над 7D-квантовой практикой. УГМ как теория имеет UFH-разложение; УГМ как практика имеет дуально-разложенную структуру.

108.C4 — категоричность (88.T-дуал)

Актика категорична до $(\infty, \infty)$-эквивалентности: два представителя $\rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle$ с одной и той же R*-параметризацией канонически эквивалентны (как 88.T для ОЦ).

108.C5 — (∞,∞)-стабилизация (68.T-дуал)

$\rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle^{(\infty, \infty)} = \mathrm{colim}_n \rangle\!\rangle \cdot \langle\!\langle^{(\infty, n)}$ — нет нетривиальных расширений за $(\infty, \infty)$.

11. Философская значимость

108.T — не только технический результат. Это структурное разрешение старого спора объект-центричной и действие-центричной философий (Парменид vs Гераклит, Лейбниц vs Спиноза, Рассел vs Бергсон, аналитика vs феноменология).

Обе традиции правы — но каждая видит только одну проекцию единой структуры. 108.T — теорема сочетаемости этих проекций, а не выбор между ними. Метастемология Чурилова ставила ДЦ против ОЦ; 108.T устанавливает их эквивалентность.

12. Вычислительные последствия

Для Verum: 108.T даёт формальное обоснование одновременной реализации двух stdlib-линий:

• core.articulation.* — ОЦ-сторона (= существующий core.theory_interop).
• core.enactment.* или core.action.* — ДЦ-сторона (новая).

Ключевые операторы:

fn articulate<E>(practice: &Enactment<E>) -> Articulation { ... }
fn enact<A: Articulation>(art: &A) -> Enactment<_> { ... }

@verify(certified)
theorem duality_108T<E, A>(p: Enactment<E>, a: A)
    ensures enact(&articulate(&p)) == p  // up to gauge
    ensures articulate(&enact(&a)) == a  // up to gauge
;

Verum-реализация 108.T автоматически доказывает, что ОЦ и ДЦ практики взаимопереводимы на уровне proof-assistant.

13. Ссылки

• /12-actic/00-foundations — обзор.
• /12-actic/02-dual-primitive — Актика-примитив.
• /12-actic/03-epsilon-invariant — ε-арифметика.
• /12-actic/05-dual-afn-t — 109.T (следствие 108.T).
• /12-actic/06-actic-theorems — 110.T–127.T.
• /06-limits/10-maximality-theorems — 103.T–106.T (параллельная методология).
• MSFS §9 thm:meta-cat, thm:meta-mult, thm:meta-stab — мета-классификация ОЦ-стороны.